La secuencia del proveedor perezoso

La secuencia del proveedor perezoso, más formalmente conocida como los números polygonal centrales, describe el número máximo de piezas de un círculo (una tortita o la pizza por lo general es usada para describir la situación) que se puede hacer con un número dado de reducciones directas. Por ejemplo, tres reducciones a través de una tortita producirán seis piezas si las reducciones que todos encuentran a un punto común, pero siete si no hacen. Este problema se puede formalizar matemáticamente como uno de contar las células en un arreglo de líneas; para generalizaciones a dimensiones más altas, ver el arreglo de hiperaviones.

El análogo de esta secuencia en 3 dimensiones es el número del pastel.

Fórmula y secuencia

El número p máximo de piezas que se pueden crear con un número dado de reducciones n, donde n ≥ 0, da la fórmula

:

Usando coeficientes de dos términos, la fórmula se puede expresar como

:

Esta secuencia, que comienza con, causa

:1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211...

Cada número iguala 1 más un número triangular.

Prueba

Cuando un círculo se corta tiempos n para producir el número máximo de piezas, representadas como p = ƒ (n), la reducción enésima se debe considerar; el número de piezas antes de la última reducción es ƒ (n − 1), mientras el número de piezas añadidas por la última reducción es n.

Para obtener el número máximo de piezas, la línea de reducción enésima debería cruzar todas las otras líneas de reducción anteriores dentro del círculo, pero no cruzar cualquier intersección de líneas de reducción anteriores. Así, la propia línea enésima se corta en n − 1 sitios, y en segmentos de línea n. Cada segmento divide una pieza del (n − 1) - tortita de reducción en 2 partes, añadiendo exactamente n al número de piezas. La nueva línea no puede tener más segmentos ya que sólo puede cruzar cada línea anterior una vez. Una línea de reducción siempre puede la transición todas las líneas de reducción anteriores, como el giro del cuchillo en un pequeño ángulo alrededor de un punto que no es una intersección existente, si el ángulo es bastante pequeño, cruzará todas las líneas anteriores incluso la última añadida.

Así, el número total de piezas después n reducciones es

:

Esta relación de la repetición se puede solucionar. Si ƒ (n − 1) se amplía un término la relación se hace

:

Extensión del término ƒ (n − 2) puede seguir hasta que el último término se reduzca a ƒ (0), así,

:

Desde entonces, porque hay una pieza antes de que cualquier reducción se haga, esto se puede volver a escribir como

:

Esto se puede simplificar, usando la fórmula para la suma de una progresión aritmética:

:

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