Schwarz–Christoffel que traza un mapa

En el análisis complejo, Schwarz–Christoffel que traza un mapa es una transformación conformal del medio avión superior en el interior de un polígono simple. Las correlaciones de Schwarz-Christoffel se usan en la teoría potencial y algunas de sus aplicaciones, incluso superficies mínimas y dinámica de fluidos. Se nombran por Elwin Bruno Christoffel y Hermann Amandus Schwarz.

Definición

Considere un polígono en el avión complejo. Riemann que traza un mapa del teorema implica que hay un bijective biholomorphic trazando un mapa f del medio avión superior

:

al interior del polígono. La función f traza un mapa del verdadero eje a los bordes del polígono. Si el polígono tiene ángulos interiores, entonces esta correlación da

:

f (\zeta) = \int^\\zeta \frac {K} {(w-a) ^ {1-(\alpha/\pi)} (w-b) ^ {1-(\beta/\pi)} (w-c) ^ {1-(\gamma/\pi)} \cdots} \, \mbox {d} w

</matemáticas>

donde está una constante, y

A menudo es conveniente considerar el caso en el cual el punto en el infinidad del avión traza un mapa a uno de los vértices del polígono plano (convencionalmente el vértice con el ángulo). Si esto se hace, el primer factor en la fórmula es con eficacia una constante y se puede considerar como absorbido en la constante.

Ejemplo

Considere una tira semiinfinita en el avión. Esto se puede considerar como una forma restrictiva de un triángulo con vértices, y (con el verdadero), como tiende al infinidad. Ahora y en el límite. Suponga que buscamos la correlación con, y. Entonces es dado por

:

\frac {K} {(w-1) ^ {1/2} (w+1) ^ {1/2}} \, \mbox {d} w. \, </matemáticas>

La evaluación de esta integral cede

:

donde está una constante (compleja) de la integración. El requerimiento que y dé y. De ahí a Schwarz–Christoffel que traza un mapa da

:

Esta transformación se dibuja abajo.

Otras correlaciones simples

Triángulo

Una correlación a un triángulo plano con ángulos y da

:

Cuadrado

Del medio avión superior traza un mapa al cuadrado

:

\sqrt {2} \, F\left (\sqrt {\\zeta+1}; \sqrt {2}/2\right).

</matemáticas>

donde F es la integral elíptica incompleta de la primera clase.

Triángulo general

Del medio avión superior traza un mapa a un triángulo con arcos circulares para bordes el mapa del triángulo de Schwarz.

Véase también

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