Curva

En matemáticas, una curva (también llamó una línea curva en textos más viejos) es, en términos generales, un objeto similar a una línea, pero que no se requiere ser directo. Esto implica que una línea es un caso especial de curva, a saber una curva con la curvatura nula.

A menudo las curvas en el de dos dimensiones (curvas planas) o tridimensional (curvas espaciales) espacio Euclidiano son del interés.

Varias disciplinas dentro de matemáticas han dado al término sentidos diferentes según el área de estudio, por tanto el sentido preciso depende del contexto. Sin embargo muchos de estos sentidos son casos especiales de la definición que sigue. Una curva es un espacio topológico que es en la localidad homeomorphic a una línea. En cada lengua del día, esto significa que una curva es un juego de puntos que, cerca de cada uno de sus puntos, parece a una línea, hasta una deformación. Un ejemplo simple de una curva está la parábola, mostrada a la derecha. Un gran número de otras curvas se ha estudiado en campos matemáticos múltiples.

El término la curva tiene varios sentidos en la lengua no matemática también. Por ejemplo, puede ser casi sinónimo de la función matemática (como en el aprendizaje de la curva), o el gráfico de una función (como en la curva de Phillips).

Un arco o el segmento de una curva son una parte de una curva que es saltada por dos puntos finales distintos y contiene cada punto en la curva entre sus puntos finales. Según cómo el arco se define, de los dos puntos finales puede o puede no ser la parte de ello. Cuando el arco es directo, típicamente se llama un segmento de línea.

Historia

La fascinación con curvas comenzó mucho antes de que fueran el sujeto del estudio matemático. Esto se puede ver en numerosos ejemplos de su uso decorativo en el arte y en objetos diarios que se remontan a prehistórico

tiempos. Las curvas o al menos sus representaciones gráficas, son simples de crear, por ejemplo por un palo en la arena en una playa.

Históricamente, el término "línea" se usó en el lugar del término más moderno "curva". De ahí las frases "línea recta" y "línea correcta" eran usadas para distinguir lo que se llama hoy líneas de "líneas curvas". Por ejemplo, en el Libro I de los Elementos de Euclid, una línea se define como un "breadthless longitud" (Def. 2), mientras una línea recta se define como "una línea que está regularmente con los puntos en sí" (Def. 4). La idea de Euclid de una línea es quizás clarificada por la declaración "Los extremos de una línea son puntos," (Def. 3). Los comentaristas posteriores adelante clasificaron líneas según varios esquemas. Por ejemplo:

Los geómetras griegos habían estudiado muchas otras clases de curvas. Una razón era su interés en solucionar problemas geométricos que no se podían solucionar usando la brújula estándar y la construcción de la regla.

Estas curvas incluyen:

Un avance fundamental en la teoría de curvas era el advenimiento de la geometría analítica en el siglo diecisiete. Esto permitió a una curva describirse usando una ecuación, más bien que una construcción geométrica complicada. Esto no sólo permitió que nuevas curvas se definieran y se estudiaran, pero permitió a una distinción formal hacerse entre curvas que se pueden definir usando ecuaciones algebraicas, curvas algebraicas, y aquellos que no pueden, curvas transcendentales. Antes, las curvas se habían descrito como "geométricas" o "mecánicas" según cómo eran, o supuestamente podrían ser, generados.

Las secciones cónicas fueron aplicadas en la astronomía por Kepler.

Newton también trabajó en un ejemplo temprano en el cálculo de variaciones. Las soluciones de problemas variational, como el brachistochrone y preguntas tautochrone, introdujeron propiedades de curvas de nuevos modos (en este caso, el cycloid). El catenary consigue su nombre como la solución del problema de una cadena colgante, la clase de pregunta que se hizo rutinariamente accesible por medio del cálculo diferencial.

En el siglo dieciocho vino los principios de la teoría de curvas algebraicas planas, en general. Newton había estudiado las curvas cúbicas, en la descripción general de los verdaderos puntos en 'óvalos'. La declaración del teorema de Bézout mostró varios aspectos que no eran directamente accesibles a la geometría del tiempo, para hacer con puntos singulares y soluciones complejas.

A partir del siglo diecinueve no hay una teoría de la curva separada, pero mejor dicho el aspecto de curvas como el aspecto de una dimensión de geometría descriptiva y geometría diferencial; y la topología posterior, cuando por ejemplo se entendió que el teorema de la curva de Jordania estaba completamente profundamente, así como requerido en el análisis complejo. La era de las curvas que llenan el espacio finalmente provocó las definiciones modernas de la curva.

Topología

En la topología, una curva se define así. Deje ser un intervalo de números reales (es decir un subconjunto relacionado no vacío de). Entonces una curva es una correlación continua, donde está un espacio topológico.

En otras palabras esta curva "no se cruza y no tiene ideas no que captan".

b] </matemáticas> y si. Una curva cerrada es así una correlación continua del círculo; también se llama una curva cerrada simple una curva de Jordania. El teorema de la curva de Jordania declara que tales curvas dividen el avión en un "interior" y un "exterior".

Una curva plana es una curva para la cual X es el Euclidiano plane—these son los ejemplos primero encountered—or en algunos casos el avión descriptivo. Una curva espacial es una curva para la cual X es de tres dimensiones, espacio por lo general Euclidiano; una curva sesgar es una curva espacial que no está en ningún avión. Estas definiciones también se aplican a curvas algebraicas (véase abajo). Sin embargo, en caso de curvas algebraicas es mucho común no restringir la curva a tener puntos sólo definidos sobre los números reales.

Esta definición de la curva captura nuestra noción intuitiva de una curva como una cifra geométrica relacionada, continua que parece a una línea, sin el grosor y dibujado sin la interrupción, aunque también incluya cifras que se pueden apenas llamar curvas en el uso común. Por ejemplo, la imagen de una curva puede cubrir un cuadrado en el avión (curva que llena el espacio). La imagen de la curva plana simple puede tener la dimensión de Hausdorff más grande que una (ver el copo de nieve de Koch) y hasta la medida de Lebesgue positiva (el último ejemplo puede ser obtenido por la pequeña variación de la construcción de la curva de Peano). La curva del dragón es otro ejemplo extraño.

Convenciones y terminología

La distinción entre una curva y su imagen es importante. Dos curvas distintas pueden tener la misma imagen. Por ejemplo, un segmento de línea se puede remontar con velocidades diferentes, o un círculo se puede cruzar un número de veces diferente. Muchas veces, sin embargo, nos interesamos sólo en la imagen de la curva. Es importante prestar la atención a contexto y convención en la lectura.

La terminología también no es uniforme. A menudo, los topologists usan el término "camino" para lo que llamamos una curva y "curva" para lo que llamamos la imagen de una curva. El término "curva" es más común en cálculo del vector y geometría diferencial.

Longitudes de curvas

Si es un espacio métrico con el métrico, entonces podemos definir la longitud de una curva por

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donde el sorbo es sobre todos y todas las particiones

A es una curva con la longitud.

Se llama un parametrization de natural (o velocidad de la unidad o parametrised por la longitud del arco) si para alguno, en, tenemos

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Si es una función Lipschitz-continua, entonces es automáticamente rectificable. Además, en este caso, uno puede definir la velocidad (o derivado métrico) de en como

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y luego

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En particular, si es un espacio Euclidiano y es differentiable entonces

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Geometría diferencial

Mientras los primeros ejemplos de curvas que se encuentran son curvas generalmente planas (es decir en palabras diarias, líneas encorvadas en el espacio de dos dimensiones), hay ejemplos obvios como la hélice que existen naturalmente en tres dimensiones. Las necesidades de geometría, y también por ejemplo mecánica clásica son tener una noción de curva en el espacio de cualquier número de dimensiones. En la relatividad general, una línea mundial es una curva en spacetime.

Si es un distribuidor de differentiable, entonces podemos definir la noción de la curva de differentiable en. Esta idea general es bastante para cubrir muchas de las aplicaciones de curvas en matemáticas. Desde un punto de vista local uno puede tomar para ser el espacio Euclidiano. la otra mano es útil ser más general, en ese (por ejemplo) es posible definir los vectores de la tangente a por medio de esta noción de la curva.

Si es un distribuidor liso, una curva lisa en es un mapa liso

:

Esto es una noción básica. Hay menos y las ideas más restringidas, también. Si es un distribuidor (es decir, un distribuidor cuyas cartas son tiempos continuamente differentiable), entonces una curva en es tal curva que sólo se supone ser (es decir tiempos continuamente differentiable). Si es un distribuidor analítico (es decir infinitamente differentiable y las cartas son expresables como la serie de poder), y es un mapa analítico, entonces se dice ser una curva analítica.

Se dice que una curva de differentiable es regular si su derivado nunca desaparece. (En palabras, una curva regular nunca reduce la marcha a una parada o desanda de sí.) Dos differentiable encorva

: y

:

se dicen ser equivalente si hay un mapa de bijective

:

tal que el mapa inverso

:

también es, y

:

para todos. El mapa se llama un reparametrisation de; y esto hace una relación de equivalencia en el juego de todas las curvas de differentiable en. Un arco es una clase de equivalencia de curvas bajo la relación de reparametrisation.

Curva algebraica

Las curvas algebraicas son las curvas consideradas en la geometría algebraica. Una curva algebraica plana es el lugar geométrico de los puntos de las coordenadas x, y tales que f (x, y) = 0, donde f es un polinomio en dos variables definidas sobre algún campo F. La geometría algebraica normalmente mira no sólo en puntos con coordenadas en F, pero en todos los puntos con coordenadas en un campo K algebraicamente cerrado. Si C es una curva definida por un polinomio f con coeficientes en F, la curva se dice definida sobre F. Los puntos de la curva C con coordenadas en un campo G se dicen racionales sobre G y se pueden denotar C (G)); así la curva llena C = C (K).

Las curvas algebraicas también pueden ser curvas espaciales o curvas en la dimensión aún más alta, obtenida como la intersección (juego de solución común) de más de una ecuación polinomia en más de dos variables. Eliminando variables (por cualquier instrumento de la teoría de eliminación), una curva algebraica se puede proyectar en una curva algebraica plana, que sin embargo puede introducir singularidades como cúspides o doblar puntos.

Una curva plana también puede también se puede completar en una curva en el avión descriptivo: si una curva es definida por un polinomio f del grado total d, entonces wf (u/w, v/w) simplifica a un polinomio homogéneo g (u, v, w) del grado d. Los valores de u, v, w tal que g (u, v, w) = 0 son las coordenadas homogéneas de los puntos de la finalización de la curva en el avión descriptivo y los puntos de la curva inicial son aquellos tales w no es el cero. Un ejemplo es la curva de Fermat u + v = w, que tiene una forma de affine x + y = 1. Un proceso similar de la homogeneización se puede definir para curvas en espacios dimensionales más altos

Los ejemplos importantes de curvas algebraicas son los conics, que son curvas no singulares del grado dos y cero del género y curvas elípticas, que son curvas no singulares del género un estudiado en la teoría numérica y que tienen aplicaciones importantes a la criptografía. Como las curvas algebraicas en campos del cero característico el más a menudo se estudian sobre los números complejos, las curvas algebraicas en la geometría algebraica se pueden considerar como verdaderas superficies. En particular, las curvas algebraicas descriptivas complejas no singulares se llaman superficies de Riemann.

Véase también

Notas

Enlaces externos



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