Proporción

En matemáticas, una proporción es una relación entre dos números de la misma clase (p.ej, objetos, personas, estudiantes, cucharadas, unidades de cualquier dimensión idéntica), por lo general expresado como "un a b" o a:b, a veces expresado aritméticamente como un cociente sin dimensiones de los dos que explícitamente indica cuantas veces el primer número contiene el segundo (no necesariamente un número entero).

En los términos del laico una proporción representa, simplemente, para cada cantidad de una cosa, cuánta hay de otra cosa. Por ejemplo, suponga que tengo 10 pares de calcetines para cada par de zapatos entonces la proporción de shoes:socks sería 1:10 y la proporción de socks:shoes sería 10:1

Nota y terminología

La proporción de números A y B se puede expresar como:

Los números A y B a veces se llaman términos con A que es el antecedente y B ser el resultado.

La proporción que expresa la igualdad de las proporciones A:B y C:D se escribe

A:B=C:D o A:B:: C:D. esta forma última, cuando dicho o escrito en la lengua inglesa, a menudo se expresa como

El:A es a B como el C es a D.

Otra vez, A, B, C, los D se llaman los términos de la proporción. A y D se llaman los extremos, y B y C se llaman los medios. La igualdad de tres o más proporciones se llama una proporción continuada.

Las proporciones a veces se usan con tres o más términos. Las dimensiones de unos dos por cuatro que es diez pulgadas de largo son 2:4:10.

Historia y etimología

Es

imposible remontar el origen del concepto de la proporción, ya que las ideas de las cuales se desarrolló habrían sido familiares a culturas prealfabetizadas. Por ejemplo, la idea de un pueblo siendo dos veces más grande que el otro es tan básico que se habría entendido en la sociedad prehistórica. Sin embargo, es posible remontar el origen de la palabra "proporción" al griego Antiguo  (logotipos). Los traductores tempranos dieron esto a latín como ("razón"; como en la palabra "racional"). (Un número racional se puede expresar como el cociente de dos números enteros.) Una interpretación más moderna del sentido de Euclid es más parecida a cálculo o cálculo. Los escritores medievales usaron la palabra proportio ("proporción") para indicar la proporción y el proportionalitas ("proporcionalidad") para la igualdad de proporciones.

Euclid coleccionó los resultados que aparecen en los Elementos de fuentes más tempranas. El Pythagoreans desarrolló una teoría de proporción y proporción aplicado a números. La concepción de Pythagoreans del número sólo incluyó lo que se llamaría hoy números racionales, poniendo la validez en duda de la teoría en la geometría donde, como Pythagoreans también las proporciones descubiertas, inconmensurables (correspondiente a números irracionales) existen. El descubrimiento de una teoría de proporciones que no asume commensurability es probablemente debido a Eudoxus. La exposición de la teoría de proporciones que aparece en el Libro VII de Los Elementos refleja la teoría más temprana de proporciones de commensurables.

La existencia de teorías múltiples parece innecesariamente compleja a la sensibilidad moderna ya que las proporciones, en gran medida, se identifican con cocientes. Esto es un desarrollo comparativamente reciente sin embargo, como se puede ver del hecho que los libros de texto de la geometría modernos todavía usan la terminología distinta y la nota para proporciones y cocientes. Las razones de esto son dobles. En primer lugar, había renuencia antes mencionada a aceptar números irracionales como números verdaderos. En segundo lugar, la carencia de un simbolismo de uso común para sustituir la terminología ya establecida de proporciones retrasó la aceptación llena de fracciones como la alternativa hasta el 16to siglo.

Las definiciones de Euclid

El libro V de los Elementos de Euclid tiene 18 definiciones, todas de las cuales están relacionadas con proporciones. Además, Euclid usa ideas que estaban en tal uso común que no incluyó definiciones para ellos. Las dos primeras definiciones dicen que una parte de una cantidad es otra cantidad que "la mide" y a la inversa, un múltiplo de una cantidad es otra cantidad que mide. En la terminología moderna esto significa que un múltiplo de una cantidad es que la cantidad multiplicada por un número entero mayor que uno y una parte de una cantidad (sentido la parte de la parte alícuota) es esto que, cuando multiplicado por un número entero mayor que uno, da la cantidad. Euclid no define el término "medida" como usado aquí pero uno puede deducir que si una cantidad se toma como una unidad de medida, y dan una segunda cantidad como un número integral de estas unidades, entonces la primera cantidad mide el segundo. Note que estas definiciones se repiten, casi palabra para la palabra, como las definiciones 3 y 5 en el libro VII.

La definición 3 describe lo que una proporción es de un modo general. No es riguroso en un sentido matemático y unos lo han asignado a los redactores de Euclid, más bien que propio Euclid. Euclid define una proporción para estar entre dos cantidades del mismo tipo, por tanto por esta definición las proporciones de dos longitudes o de dos áreas se definen, pero no la proporción de una longitud y un área. La definición 4 hace esto más riguroso. Declara que una proporción de dos cantidades existe cuando hay un múltiplo de cada uno que excede el otro. En la nota moderna, una proporción existe entre cantidades p y q si allí existen números enteros m y n de modo que diputado> q y nq> m. Esta condición se conoce como la propiedad de Archimedean.

La definición 5 es la más compleja y difícil; define lo que significa para dos proporciones ser igual. Hoy, esto se puede hacer declarando simplemente que las proporciones son iguales cuando los cocientes de los términos son iguales, pero Euclid no aceptó la existencia de los cocientes de incommensurables, por tanto tal definición habría sido sin sentido a él. Así, una definición más sutil es necesaria donde las cantidades implicadas no se miden directamente el uno al otro. Aunque pueda no ser posible asignar un valor racional a una proporción, es posible comparar una proporción con un número racional. Expresamente, considerando dos cantidades, p y q y un número racional m/n podemos decir que la proporción de p a q es menos que, igual a, o mayor que m/n cuando np es menos que, igual a, o mayor que mq respectivamente. La definición de Euclid de la igualdad se puede declarar como eses dos las proporciones son iguales cuando se comportan idénticamente con respecto a ser menos que, igual a, o mayor que cualquier número racional. En la nota moderna esto dice que dado cantidades p, q, r y s, entonces p:q:: r:s si para cualquier número entero positivo m y n, np

La definición 6 dice que las cantidades que tienen la misma proporción son proporcionales o en la proporción. Euclid usa el griego  (analogon), esto tiene la misma raíz que  y se relaciona con la palabra inglesa "análogo".

La definición 7 define lo que significa para una proporción ser menos que o mayor que el otro y está basada en las ideas presentes en la definición 5. En la nota moderna dice que dado cantidades p, q, r y s, entonces p:q> r:s si hay números enteros positivos el m y n de modo que np> mq y nr≤ms.

Como con la definición 3, la definición 8 es considerada por unos que como son una introducción posterior por los redactores de Euclid. Define tres términos p, q y r para estar en la proporción cuando p:q:: q:r. Esto se amplía a 4 términos p, q, r y s como p:q:: q:r:: r:s, etcétera. Las secuencias que tienen la propiedad que las proporciones de términos consecutivos son iguales se llaman progresiones Geométricas. Las definiciones 9 y 10 aplican esto, diciendo que si p, q y r están en la proporción entonces el p:r es la proporción duplicada de p:q y si p, q, r y s están en la proporción entonces p:s es la proporción triplicada de p:q. Si p, q y r están en la proporción entonces q se llama un proporcional medio a (o el medio geométrico de) p y r. Del mismo modo, si p, q, r y s están en la proporción entonces q y r se llaman dos proportionals medios a p y s.

Ejemplos

Las cantidades comparadas en una proporción podrían ser cantidades físicas como velocidad o longitud, o números de objetos o cantidades de sustancias particulares. Un ejemplo común del último caso es la proporción del peso del agua para cementar usado en el hormigón, que comúnmente se declara como 1:4. Esto significa que el peso de cemento usado es cuatro veces el peso del agua usada. No dice nada sobre los importes de cemento y agua usada, ni la cantidad de hormigón hecho. Equivalentemente se podría decir que la proporción de cemento al agua es 4:1, que hay 4 veces más cemento que agua, o que hay un cuarto (1/4) tanta agua como cemento..

Las televisiones más viejas tienen un 4:3 "relación de aspecto", el que significa que la anchura es 4/3 de la altura; las TVs widescreen modernas tienen un 16:9 relación de aspecto.

Fracción

Si hay 2 naranjas y 3 manzanas, la proporción de naranjas a manzanas es 2:3, y la proporción de naranjas al número total de piezas de la fruta es 2:5. Estas proporciones también se pueden expresar en la forma de la fracción: hay 2/3 tantas naranjas como manzanas, y 2/5 de las piezas de la fruta son naranjas. Si el zumo de naranja concentrado se debe diluir con el agua en la proporción 1:4, entonces una parte del concentrado se mezcla con cuatro partes del agua, dando cinco total de partes; la cantidad de zumo de naranja concentrado es 1/4 la cantidad del agua, mientras la cantidad de zumo de naranja concentrado es 1/5 del líquido total. Tanto en proporciones como en fracciones, es importante estar claro lo que es comparado con lo que, y principiantes a menudo hacen errores por esta razón.

Número de términos

En general, comparando las cantidades de una proporción de dos cantidades, esto se puede expresar como una fracción sacada de la proporción. Por ejemplo, en una proporción de 2:3, la cantidad/talla/volumen/número de la primera cantidad será la de la segunda cantidad. Este modelo también trabaja con proporciones con más de dos términos. Sin embargo, una proporción con más de dos términos no se puede completamente convertir en una fracción sola; una fracción sola representa sólo una parte de la proporción ya que una fracción sólo puede comparar dos números. Si los acuerdos de la proporción con objetos o cantidades de objetos, esto a menudo se expresa como "para cada dos partes de la primera cantidad hay tres partes de la segunda cantidad".

Proporción del porcentaje

Si multiplicamos todas las cantidades implicadas en una proporción por el mismo número, la proporción permanece válida. Por ejemplo, una proporción de 3:2 es lo mismo como 12:8. Es habitual reducir términos al mínimo común denominador o expresarlos en partes por cien (de por ciento).

Si una mezcla contiene sustancias A, B, C & D en la proporción 5:9:4:2 entonces hay 5 partes de un para cada 9 partes de B, 4 partes de C y 2 partes de D. Como 5+9+4+2=20, la mezcla total contiene 5/20 de un (5 partes de 20), 9/20 de B, 4/20 de C y 2/20 de D. Si dividimos todos los números en el total y nos multiplicamos en 100, esto se convierte a porcentajes: el 25% A, el 45% B, el 20% C y el 10% D (equivalente a escritura de la proporción como 25:45:20:10).

Proporciones

Si las dos o más cantidades de la proporción cercan todas las cantidades en una situación particular, por ejemplo dos manzanas y tres naranjas en un canasto de la fruta no que contiene ningunos otros tipos de la fruta, se podría decir que "el todo" contiene cinco partes, arregladas de dos manzanas de partes y tres naranjas de partes. En este caso, o el 40% del todo son manzanas y, o el 60% del todo es naranjas. Esta comparación de una cantidad específica "al todo" a veces se llama una proporción. Las proporciones a veces se expresan como porcentajes como demostrado encima.

Reducción

Note que las proporciones se pueden reducir (como las fracciones son) dividiendo cada cantidad en los comunes divisores de todas las cantidades. Esto a menudo se llama "anulando". En cuanto a fracciones, se considera que la forma más simple es que en que los números en la proporción son los números enteros más pequeños posible.

Así, la proporción 40:60 se puede considerar equivalente en el sentido a la proporción 2:3 dentro de contextos referidos sólo por cantidades relativas.

Matemáticamente, escribimos: "40:60" = "2:3" (dividiendo ambas cantidades en 20).

:Grammatically, diríamos, "40 a 60 iguala 2 a 3."

Una representación alternativa es: "40:60:: 2:3"

:Grammatically, diríamos, "40 es a 60 como 2 es a 3."

Una proporción que tiene números enteros para ambas cantidades y esto no se puede reducir más lejos (usando números enteros) se dice estar en forma más simple o términos más bajos.

A veces es útil escribir una proporción en la forma 1:n o n:1 para permitir comparaciones de proporciones diferentes.

Por ejemplo, la proporción 4:5 se puede escribir como 1:1.25 (dividiendo ambos lados por 4)

O bien, 4:5 se puede escribir como 0.8:1 (dividiendo ambos lados por 5)

Donde el contexto aclara el sentido, una proporción en esta forma a veces se escribe sin 1 y el colon, sin embargo, matemáticamente, esto lo hace un factor o multiplicador.

Proporción de la dilución

Las proporciones a menudo se usan para diluciones simples aplicadas en química y biología. Una dilución simple es la que en la cual un volumen de la unidad de un material líquido del interés se combina con un volumen apropiado de un líquido solvente para conseguir la concentración deseada. El factor de la dilución es el número total de volúmenes de la unidad en los cuales su material se disolverá. El material diluido se debe a fondo mezclar entonces para conseguir la dilución verdadera. Por ejemplo, un 1:5 la dilución (expresan con palabras como "1 a 5" dilución) implica la combinación de 1 volumen de la unidad de solute (el material para diluirse) + 4 volúmenes de la unidad (aproximadamente) del solvente para dar 5 unidades del volumen total. (Algunas soluciones y las mezclas toman ligeramente menos volumen que sus componentes.)

El factor de la dilución con frecuencia se expresa usando exponentes: 1:5 sería 5e−1 (5 es decir un-fifth:one); 1:100 sería 10e−2 (10 es decir un hundredth:one), etcétera.

A menudo hay la confusión entre proporción de la dilución (1:n sentido 1 parte solute al solvente de partes n) y factor de la dilución (1:n+1) donde el segundo número (n+1) representa el volumen total de solute + solvente. En diluciones científicas y consecutivas, la proporción dada (o factor) a menudo significa la proporción para el volumen final, no para sólo el solvente. Los factores entonces se pueden fácilmente multiplicar para dar un factor de la dilución total.

En otras áreas de la ciencia como la farmacia, y en el uso no científico, dan normalmente una dilución como una proporción clara del solvente a solute.

Probabilidades

Las probabilidades (como en el juego de azar) se expresan como una proporción. Por ejemplo, las probabilidades de "7 a 3 contra" (7:3) significan que hay siete posibilidades que el acontecimiento no pase a cada tres posibilidades que pase. la otra mano, la probabilidad de éxito es el 30%. En cada diez juicios, hay tres triunfos y siete pérdidas.

Unidades diferentes

Las proporciones son unitless cuando relacionan cantidades que tienen unidades de la misma dimensión.

Por ejemplo, la proporción 1 minuto: 40 segundos se pueden reducir cambiando el primer valor a 60 segundos. Una vez que las unidades son lo mismo, se pueden omitir, y la proporción se puede reducir a 3:2.

En la química, la concentración de masas "proporciones" por lo general se expresa como w/v porcentajes y es realmente proporciones.

Por ejemplo, una concentración del 3% w/v por lo general significa 3g de la sustancia en cada 100mL de la solución. Esto no se puede fácilmente convertir a una proporción pura debido a consideraciones de densidad, y la segunda cifra es el importe, no el volumen de solvente.

Véase también

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